09-23-2017, 11:16 AM
സമാന്തര ശ്രേണി (Arithmetic Progression)
*ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയിൽ തൊട്ട് പുറകിലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ചാൽ ഒരു പൊതുസംഖ്യ ലഭിക്കുമെങ്കിൽ അത്തരം സംഖ്യാശ്രേണിയെ സമാന്തര പ്രോഗ്രഷനുകൾ എന്നു പറയുന്നു. ഈ പൊതു സംഖ്യയെ സംഖ്യാശ്രേണിയുടെ പൊതു വ്യത്യാസം എന്നു പറയുന്നു.
*ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ഒന്നാം പദം a യും പൊതുവ്യത്യാസം d യും ആയാൽ, a - d, a, a+d എന്നത് ഒരു സമാന്തര പ്രോഗ്രഷന്റെ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് പദങ്ങ ളുടെ പൊതുരൂപമാണ് .
*ഒരു സമാന്തര പ്രോഗ്ഷന്റെ ഒന്നാം പദത്തെ t1 എന്നും രണ്ടാം പദത്തെ t2 എന്നും സൂചിപ്പിച്ചാൽ, പൊതുവ്യത്യാസം d = t2 - t1.
*തുടർച്ചയായ മൂന്ന് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ പൊതു രൂപം a - 1,a,a + 1 ആയാൽ ഇവയുടെ തുക 3a ആണ്.
* a - 2, a,a+2 ഇവ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെയും ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെയും പൊതു രൂപമാണ്. ഇവയുടെ തുക 3a ആയിരിക്കും.
*ഒരു സമാന്തര പ്രോഗ്ഷന്റെ ഒന്നാം പദത്തെ ‘a’എന്നും പൊതു വ്യത്യാസത്തെ ‘d’എന്നും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ‘n’ എന്നും സൂചിപ്പിച്ചാൽ n -ാം പദം:
tn = a+(n-1)d
*a, b, c ഇവ ഒരു സമാന്തര പ്രോഗ്രഷന്റെ തുടർച്ച
യായ മൂന്ന് പദങ്ങൾ ആയാൽ
b= a+c/2
*ഒരു സമാന്തര പ്രോഗ്രഷന്റെ ഒന്നാം പദത്തെ t1 എന്നും അവസാനത്തെ പദത്തെ tn എന്നും പൊതു വ്യത്യാസത്തെ എന്നും പൊതു വ്യത്യാസത്തെ ‘d’ എന്നും സൂചിപ്പിച്ചാൽ,
തുക (Sn) = n/2 (t1+tn)
*ഒരു സമാന്തര പ്രോഗഷന്റെ ഒന്നാം പദത്തെ ‘a’എന്നും പൊതുവ്യത്യാസത്തെ ‘d’ എന്നും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ‘n’ എന്നും സൂചിപ്പിച്ചാൽ
തുക (Sn) = n/2 [2a +(n-1)d]
മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങൾ
*തുടർച്ചയായ മൂന്ന് നിസർഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ തുക ആയാൽ ചെറിയ സംഖ്യ എത്ര ?
(a)10 (b)8 (c )9 (d)11
ഉത്തരം (c )
*തുടർച്ചയായ 3 നിസർഗ്ഗസംഖ്യകൾ n,n+1,n+2,ആയാൽ n+n+1+n+2 = 30
3n +3 = 30
3n = 27
n = 27/3 = 9
സംഖ്യകൾ = 9,10,11 ചെറിയ സംഖ്യ = 9
2.തുടർച്ചയായ5 ഇരട്ട സംഖ്യകൾ n,n+2,n+4,n+6,n+8 ആയാൽ
n+n+2+n+4+n+6+n+8 = 200
5n +20 = 200
5n = 180
n = 180/5 = 36
സംഖ്യകൾ = 36,38,40,42,44
വലിയ സംഖ്യ = 44
3.തുടർച്ചയായ6 പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ തുക ആയാൽ വലിയ സംഖ്യ എത്ര ?
(a)30 (b)36 (c )33 (d)35
ഉത്തരം : (d)
ചെറിയ സംഖ്യ = n
… സംഖ്യകൾ = n, n+1,n+2,n+3,n+4,n+5
n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5 = 195
6n + 15 = 195
= n +5 വലിയ സംഖ്യ
6n = 195 -15 = 30+5
6n = 180 = 35
n = 180/6
n = 30